Алгебраические уравнения произвольных степеней - презентация
Информация о материале
Алгебраические уравнения произвольных степеней - скачать презентацию
1. Введение
Всякий школьник, прежде всего, умеет решать уравнение первой степени: если дано уравнение ax+b=0, где а≠0, то его единственным корнем будет число x=b/a.
Школьник знает, также, формулу для решения квадратного уравнения:
ax2+bx+c=0, где а≠0. Именно,
Если коэффициенты уравнения – действительные числа, то эта формула даёт два различных действительных корня, когда под знаком радикала стоит положительное число, т.е. b2-4ac>0. Если же b2-4ac=0, то наше уравнение имеет лишь один корень; его называют в этом случае кратным корнем; при b2-4ac<0 уравнение вообще не имеет действительных корней.
Наконец, школьник умеет решать некоторые типы уравнений третьей и четвёртой степеней, а именно те, решение которых легко сводится к решению квадратных уравнений. Примером может служить уравнение:
ax3+bx2+cx=0, которое имеет один корень х=0, а затем после сокращения на х превращается в квадратное уравнение: ax2+bx+c=0.
К квадратному уравнению также сводится уравнение четвертой степени:
ay4+by2+c=0, называемое биквадратным; достаточно положить в этом уравнении y2=x, найти корни полученного квадратного уравнения и затем извлечь из них квадратные корни.
2. Комплексные числа
Потребность в комплексных числах возникла в связи с тем, что из отрицательного действительного числе нельзя извлечь квадратный корень, оставаясь в области действительных чисел. Это, как мы знаем, приводит к тому, что некоторые квадратные уравнения не имеют действительных корней; уравнение х2+1=0 будет простейшим из таких уравнений. Нельзя ли расширить запас чисел так, чтобы эти уравнения обладали корнем?
Школьнику несколько раз приходилось встречаться с расширением того запаса чисел, которым он располагает. Он начинал с изучения в элементарной арифметике целых положительных чисел. Очень скоро появились и дроби. В курсе алгебры были добавлены отрицательные числа, т.е. была получена система всех рациональных чисел. Наконец, присоединение иррациональных чисел привело к системе всех действительных (или вещественных) чисел.
Каждое из этих последовательных расширений запаса чисел позволяло находить корни для некоторых из тех уравнений, которые раньше, до рассматриваемого расширения, корней не имели. Так, уравнение 2х-1=0 стало обладать корнем лишь после введения дробей, уравнение х+1=0 – после введения отрицательных чисел, а уравнение х2-2=0 – лишь после присоединения иррациональных чисел.
Все это вполне оправдывает ещё один шаг на пути обогащения запаса чисел, и мы в общих числам наметим сейчас, как этот последний шаг осуществляется.
3. Извлечение корней, квадратные уравнения
Располагая комплексными числами, мы можем извлекать квадратный корень не только из числа -1, но и из любого другого отрицательного действительного числа, причём будем получать два различных значения. Именно, если –а есть отрицательное действительное число, т.е. а>0, где - положительное значение квадратного корня из положительного числа а.
Возвращаясь к решению рассматривавшегося во введении квадратного уравнения с действительными коэффициентами, мы можем теперь сказать, что и в случае это уравнение имеет два различных корня, но уже комплексных.
Комплексных чисел достаточно и для того, чтобы извлекать корни из любых комплексных чисел. Именно, если дано комплексное число a+bi, то
где оба раза берётся положительное значение радикала . Видно, конечно, что при любых значениях a и b и первое слагаемое правой части и коэффициент i будут действительными числами. Каждый из этих двух радикалов имеет два значения, которые комбинируются друг с другом по следующему правилу: если b>0, то положительное значение одного радикала складывается с положительным значением другого, а отрицательное – с отрицательным; если же b<0, то положительное значение одного радикала складывается с отрицательным значением другого.
Пример. Извлечь квадратный корень из числа 21-20i. Здесь:
Т. к. b= -20, т. е. b<0, то комбинируются значения последних радикалов с разными знаками, т. е.
4.Кубичные уравнения
Пусть дано уравнение x3+a?x2+b?x+c=0. Преобразуем это уравнение, положив x=y-а/3, где у- новое неизвестное. Подставим это выражение х в наше уравнение, мы получим кубичное уравнение относительно некоторого неизвестного у, причём более простое, т.к. коэффициент при у2 окажется равным нулю. Коэффициентом при первой степени у и свободным членом будут соответственно числа:
т.е. уравнение сокращенно запишется в виде y3+p?y+q=0.
Если мы найдём корни этого нового уравнения, то, вычитая из них по а/3, получим корни исходного уравнения. Корни нашего нового уравнения выражаются через его коэффициенты при помощи следующей формулы:
Каждый из входящих в неё кубичных радикалов имеет, как мы знаем, три значения. Нельзя, однако, комбинировать их произвольным образом. Оказывается, что для каждого значения первого радикала можно указать одно единственное значение второго радикала, что произведение их равно числу –р/3. Именно эти два значения радикалов и нужно складывать для того, чтобы получить, таким образом, три корня нашего уравнения. Всякое кубичное уравнение с любыми числовыми коэффициентами имеет , следовательно три корня, в общем случае комплексных; некоторые из корней могут, конечно, совпасть, т.е. превратиться в кратный корень. Однако, практическое значение приведённой формулы весьма невелико.
5. О решении уравнений в радикалах и о существовании корней уравнений
Формулы для нахождения формул для решения уравнений третьей и четвертой степеней были найдены еще в XVI веке. В это же время начались поиски более сложной формулы для решения уравнений пятой степени и более высоких степеней. Эти поиски безуспешно продолжались до начала XIX века, когда был доказан следующий замечательный результат:
Ни для какого n, большего или равного пяти , нельзя указать формулу, выражающую корни уравнения через его коэффициенты при помощи радикалов.
Если бы существовало уравнение с числовыми коэффициентами, действительными или комплексными, такое, которое не имело бы ни одного действительного или комплексного корня, то возникла бы задача дальнейшего расширения запаса чисел. В этом, однако, нет необходимости: комплексных чисел достаточно для решения любого уравнения с числовыми коэффициентами. Именно, справедлива следующая теорема:
Всякое уравнение n-й степени с любыми числовыми коэффициентами имеет n корней, комплексных или, в частности, действительных; некоторые из них могут, конечно, совпасть, т.е. оказаться кратными.
Эта теорема называется «Основной теоремой высшей алгебры». Она была доказана Даламбером и Гауссом ещё в XVIII веке, хотя лишь в XIX веке эти доказательства были доведены до полной строгости.
6. Число действительных корней
Пусть дано уравнение n-й степени. Оно имеет, как мы знаем, n корней. Первые вопросы, которые естественно возникают, таковы: имеются ли среди них действительные, сколько их, где примерно они расположены? Ответ на эти вопросы может быть получен следующим путем. Обозначим многочлен, стоящий в левой части уравнения через f(x). Построим график многочлена f(x).
Пример. Построить график функции f(x)=x3-5?x2+2?x+1.
Составим таблицу значений многочлена f(x), со значениями ?, лежащими между -1 и 5 и построим график.
График показывает, что все три корня находятся на промежутках (-1;0), (0;1) и (4;5).
Иногда полезны следующие теоремы, дающие некоторые сведения о существовании действительных и даже положительных корней:
Всякое уравнение нечётной степени с действительными коэффициентами имеет хотя бы один действительный корень.
Если в уравнении с действительными коэффициентами старший коэффициент А0 и свободный член Аn имеют разные знаки, то оно имеет хотя бы один положительный корень. Если же, уравнение имеет, кроме того, чётную степень, то оно обладает также и хотя бы одним отрицательным корнем.
7. Приближённое решение уравнений
Зная значения, между которыми заключены корни уравнения x3-5?x2+2?x+1=0, мы можем уточнить корни уравнения. Пусть, например, нас интересует корень ?2, лежащий между нулём и единицей. Вычисляя значения левой части уравнения при х=0,1; 0,2; 0,3; . . . ; 0,9 , мы нашли бы, между какими двумя из этих последовательностей значений для х график многочлена f(x) пересекает ось абсцисс, т.е. вычислили корень ?2 уже с точностью до одной десятой.
Продолжая так далее, мы могли бы найти значение корня с точностью до одной сотой, и до любой нужной точности. Однако, такой метод связан с громоздкими вычислениями, которые быстро становятся невыполнимыми. Ввиду этого разработаны различные методы, определяющие приближённые значения действительных корней уравнения.
Полезно, сначала найти более узкие границы корня. Для этого вычислим корень с точностью до одной десятой. Так f(0,7)=0,293, а f(0,8)= - 0,88, а так как знаки значений различны, то 0,7
Метод состоит в следующем. Пусть дано уравнение n-й степени, левую часть которого обозначим через f(x), и пусть уже известно, что между A и B лежит один действительный корень. По определённым формулам можно найти для корня ? новые границы C и D. При этом будет или C
Граница С вычисляется по формуле: .
Тогда, в нашем примере:
Формула для границы D требует введения одного нового понятие, которое будет играть у нас лишь служебную роль; по существу же оно относится к другой части математики, дифференциальному исчислению.
Пусть дан многочлен n-й степени f(x)=aoxn+a1xn-1+a2xn-2+ . . . +an-2x2+an-1x+an .
Назовём производной этого многочлена и обозначим f '(x) следующий многочлен (n-1)-й степени:
f '(x)=na0xn-1+(n-1) a1xn-2+(n-2) a2xn-3+ . . . +2an-2x+an-1.
Он получен из многочлена f(x) по следующему правилу: каждый член аk?xn-k многочлена f(x) умножается на показатель степени n-k при х, сам же показатель уменьшается на единицу; при этом свободный член an пропадает, так как можно считать, что an=an?x0.
От многочлена f '(x) можно снова взять производную. Это будет многочлен (n-2)-й степени, который называется «второй производной» многочлена f(x) и обозначается f''(x).
9. Заключение
Мы рассматривали всё время уравнения некоторой степени с одним неизвестным. Начало этой теории лежало еще в элементарной алгебре, где после изучения уравнений первой степени переходят к квадратным уравнениям. Однако в элементарной алгебре был сделан один шаг и в другом направлении: после изучения одного уравнения первой степени с одним неизвестным перешли к рассмотрению системы из двух уравнений с двумя неизвестными и системы из трёх уравнений с тремя неизвестными. Это направление получает дальнейшее развитие в курсе высшей алгебры, где изучаются методы решения любой системы из n уравнений c n неизвестными. Теория систем уравнений первой степени и связанные с ними методы решения, составляют особую ветвь алгебры – линейную алгебру; по своим применениям в геометрии и в других отраслях математики, а также в физике и теоретической механике она является первой среди всех частей алгебры.
Алгебраические уравнения произвольных степеней - презентация
Сылки для скачивания
Алгебраические уравнения произвольных степеней - презентация